Question

如图，抛物线y=x²与直线y=x相交于O，A两点，点P沿着抛物线从点A出发，按横坐标大于点A的横坐标方向运动，PS∥x轴，交直线OA于点S，PQ⊥x轴，SR⊥x轴，垂足为Q、R．
（1）当点P的横坐标为2时，回答下列问题：
①求S点的坐标．
②求通过原点，且平分矩形PQRS面积的直线解析式．
（2）当矩形PQRS为正方形时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）①∵y=x²，
∴当x=2时，y=2²=4，即点P的坐标为（2，4），
∵PS∥x轴，
∴S点的纵坐标与P点的纵坐标相同，也为4，
又∵S点在直线y=x上，
∴当y=4时，x=4，解得x=8，
∴点S的坐标为（8，4）；
②∵点P的坐标为（2，4），PQ⊥x轴，垂足为Q，
∴Q点的坐标为（2，0）．
连接QS，设QS中点为B，则B点为矩形PQRS的对称中心，作直线OB，则直线OB平分矩形PQRS的面积．
∵Q（2，0），S（8，4），
∴B（5，2）．
设直线OB的解析式为y=kx，将B（5，2）代入，
得5k=2，解得k=，
∴直线OB的解析式为y=x；

（2）∵点P在抛物线y=x²上，∴可设点P坐标为（x，x²），则S点的坐标为（2x²，x²）．
∵矩形PQRS为正方形，
∴PS=PQ，即2x²-x=x²，
解得x=0（舍去）或x=1，
∴点P坐标为（1，1）．
分析：（1）①先将x=2代入y=x²，求出y=4，得到点P的坐标为（2，4），再由PS∥x轴，得出S点的纵坐标为4，然后将y=4代入y=x，求出x=8，即可得到点S的坐标为（8，4）；
②由于矩形是中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都将矩形的面积平分，所以先求出矩形PQRS的对称中心B的坐标．因为Q（2，0），S（8，4），所以对角线QS的中点B的坐标为（5，2），再运用待定系数法即可求出直线OB的解析式；
（2）先由点P在抛物线y=x²上，可设点P坐标为（x，x²），再根据PS∥x轴及S点在直线y=x上，得出S点的坐标为（2x²，x²），然后根据矩形PQRS为正方形，得出PS=PQ，即2x²-x=x²，解方程即可求出点P的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线的解析式，函数图象及平行于坐标轴上点的坐标特征，矩形、正方形的性质，中点坐标公式，综合性较强，难度不大．运用数形结合及方程思想是解题的关键．