Question

14．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．
（1）求证：AC与⊙O相切于D点；
（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．
（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）²=15²+r²，解方程即可．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切于D点；
（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，
又∵AD=15，AE=9，设半径为r，
∴（r+9）²=15²+r²，
解方程得，r=8，
即⊙O的半径为8．

点评 本题考查了圆的切线的判定方法、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定方法，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．