【题目】(8分)如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)MB=4,MC=2.
【解析】
试题(1)由切线的性质,得到∠MAP=90°,由直角三角形的性质,得到∠P+M=90°,由余角的性质,得到∠M+∠MOB=90°,可得∠MOB=90°,根据切线的判定,可得答案;
(2)根据△OBM∽△APM,可得,根据解方程组,可得答案.
试题解析:(1)∵PA切⊙O于点A,∴∠MAP=90°,∴∠P+M=90°.∵∠COB=∠APB,∴∠M+∠MOB=90°,∴∠MOB=90°,即OB⊥PB,∵PB经过直径的外端点,∴PB是⊙O的切线;
(2)∵∠COB=∠APB,∠OBM=∠PAM,∴△OBM∽△APM,∴,∴ ①, ②,解得MB=4,MC=2,∴当OB=3,PA=6时,MB=4,MC=2.
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【题目】如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO;
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数.②若⊙O的半径为,求线段EF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)若点M是线段BC上的一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;
(3)试探究当ME取最大值时,在抛物线上、x轴下方是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,DE平分∠ADB,则∠B=( )
A. 40° B. 30° C. 25° D. 22.5
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,CD与⊙O相切于点E,AD⊥CD于点D.
(1)求证:AE平分∠DAC;
(2)若AB=4,∠ABE=60°.
①求AD的长;
②求出图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,面积是16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E、F,若点D为BC边上的中点,点M为线段EF一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A.4B.8C.10D.12
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【题目】如图,在平面直角坐标中,点O是坐标原点,一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(1,m)、B(n,1)两点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)根据图象写出当y1>y2时,x的取值范围;
(3)若点P在y轴上,求PA+PB的最小值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.点O是AB的中点,边AC=6,将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处,将三角板绕点0旋转,始终保持三角板的直角边与AC相交,交点为点E,另条直角边与BC相交,交点为D,则等腰直角三角板的直角边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE的长度之和为_____.
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