Question

2．如图，Rt△EFG中，∠E=90°，EG=$\frac{15}{4}$，sinF=$\frac{3}{5}$，?ABCD中，AB=7，AC=10，H为AB边上一点，AH=5，AC∥EF，斜边FG与边AB在同一直线上，Rt△EFG从图①（点G与点A重合）的位置出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB方向匀速移动，当F与H重合时，停止运动．

（1）求BC的长；
（2）设△EFG在运动中与△ACH重叠的部分面积为S，请直接写出S与运动时间t（秒）之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，当E在AC上时，将△FGE绕点E顺时针旋转a°（0＜a＜180），记旋转中的△FGE为△F′G′E，在旋转过程中，设直线F′G′与直线AC交于M，与直线AB交于点N，是否存在这样的M、N两点，使△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时EM的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作CI⊥直线AB，利用锐角三角函数的意义与勾股定理求得答案即可；
（2）分类探讨：在0≤t≤$\frac{45}{4}$的范围内进一步分段，利用三角形的面积的和与差以及计算方法得出答案即可；
（3）分三种情况探讨：AM=AN．MA=MN，NA=NM利用勾股定理探讨得出答案即可．

解答 解：（1）如图，

过C作CI⊥直线AB，
∵AC∥EF，
∴∠CAB=∠F，
在Rt△ACI中，
sin∠CAB=sinF=$\frac{CI}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CI=$\frac{3}{5}$×10=6，
在Rt△ACI中，
AI=$\sqrt{A{C}^{2}-I{C}^{2}}$=8，
∴BI=AI-7=1
在Rt△BCI中，
BC=$\sqrt{C{I}^{2}+B{I}^{2}}$=$\sqrt{37}$；
（2）S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{25}{t}^{2}（0≤t≤5）}\\{-\frac{4}{25}{t}^{2}+4t-10（5＜t≤\frac{25}{4}）}\\{-\frac{2}{5}{t}^{2}+4t-\frac{5}{8}（\frac{25}{4}＜t≤\frac{35}{4}）}\\{\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{27}{2}t+\frac{1215}{16}（\frac{35}{4}＜t≤\frac{45}{4}）}\end{array}\right.$           
（3）过E作EK⊥AB
如图1，

当MA=MN时∠1=∠2，
又∵∠F′=∠1
∴∠3=∠1=∠F′，
∴MF′=ME，
在Rt△EK′M中，
EM²=（4-EM）²+EK′²，
∴EM=$\frac{25}{8}$；
如图2，

当AM=AN时，
∵∠EFK=∠F′，
∴∠1=∠2=∠3=∠F′EM，
∴F′M=F′E=5，
∴K′M=F′M-K′M=5-4=1，
∴Rt△EK′M中，
EM²=EK′²+K′M²，
∴EM=$\sqrt{10}$；     
如图3：

当AM=AN时∠1=∠2，
∵∠EFK=∠1+∠2=∠K′F′E=∠3+∠2
∴∠3=∠2，F′E=F′M=5，
∴Rt△EK′M中
ME²=K′M²+K′E²，
EM=3$\sqrt{10}$，
如图4：

当NM=NA时，
∠1=∠2=∠EFK=∠3
∴F′E=ME，
∴M与F重合，
∴EM=$\frac{25}{8}$，$\sqrt{10}$，3$\sqrt{10}$．

点评 此题考查四边形的综合题，综合运用锐角三角函数的意义，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．