Question

【题目】如图①,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.

【试题再现】如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证:△ADC∽△CEB.

【问题探究】在图①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由.

【深入探究】如图③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB⊥AD于点A,交BC于点B.

(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.

(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.

Answer 1

【答案】【试题再现】见解析；【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点. 理由见解析；【深入探究】(1) 点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，见解析；(2)

【解析】试题分析：【试题再现】易证∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得△ADC∽△CEB.

【问题探究】要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

【深入探究】（1）分别证明△ADP∽△PDC,△BPC∽△PDC,从而△ADP∽△PDC∽△BPC,故点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.

（2）过点P作PE⊥DC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,通过证明△ADP≌△EDP和△CBP≌△CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt△CDF中,由勾股定理,得AB=2.

试题解析：【试题再现】

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,

∵AD⊥DE,

∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠BCE=∠CAD,

∵∠ADC=∠CEB=90°,

∴△ADC∽△CEB.

【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

理由如下:

∵∠DEC=40°,

∴∠DEA+∠CEB=140°.

∵∠A=40°,

∴∠ADE+∠AED=140°,

∴∠ADE=∠CEB,

又∵∠A=∠B,

∴△ADE∽△BEC,

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

【深入探究】

(1)∵AD∥BC,

∴∠ADC+∠BCD=180°,

∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,

∴∠CDP+∠DCP= (∠ADC+∠BCD)=90°,

∵DA⊥AB,DA∥BC,

∴CB⊥AB,

∴∠DPC=∠A=∠B=90°,

∵∠ADP=∠CDP,

∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,

∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.

(2)过点P作PE⊥DC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,

∴DF=AB,

在△ADP与△EDP中,

∴△ADP≌△EDP,

∴AD=DE,

同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,

∴DC=AD+BC=8.

在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,

由勾股定理,得DF==2,

∴AB=2.