Question

7．如图：两条宽为a的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则重叠部分的面积（阴影部分）为（　　）

• A． a²sinα
• B． a²
• C． $\frac{{a}^{2}}{sinα}$
• D． $\frac{{a}^{2}}{cosα}$

Answer 1

分析 首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．

解答 解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为a，
∴AE=AF=a，
∵四边形ABCD的面积=BC•AE=CD•AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵$\frac{AE}{AB}$=sinα，
∴BC=AB=$\frac{AE}{sinα}$=$\frac{a}{sinα}$，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为=BC×AE=$\frac{a}{sinα}$×a=$\frac{{a}^{2}}{sinα}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用；关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．