Question

已知-1≤y≤1且2x+y=1，则4x²+16x+3y²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的最值

专题：

分析：由2x+y=1，|y|≤1，得到y=1-2x，-1≤1-2x≤1，解得0≤x≤1，设W=4x²+16x+3y²，用x表示W得到W=14x²+4x+3，先求出对称轴为直线x=-

4

2×16

=-

1

8

，由于a=14＞0得到抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，而0≤x≤1，所以当x=0时W最小，然后把x=0代入W进行计算即可．

解答：解：设W=4x²+16x+3y²，
∵2x+y=1，|y|≤1，
∴y=1-2x，-1≤y≤1，
∴-1≤1-2x≤1，
∴0≤x≤1，
∴W=4x²+16x+3（1-2x）²
=16x²+4x+3，
对称轴为直线x=-

4

2×16

=-

1

8

，
∵a=16＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
当0≤x≤1，x=0时，W最小，
即W_最小值=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了二次函数的最值问题：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，对称轴为直线x=-

b

2a

，当a＞0，抛物线开口向上，y有最小值

4ac-b2

4a

，y随x的增大而减小；当a＜0，抛物线开口向下，y有最大值

4ac-b2

4a

，y随x的增大而增大．