Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．

（1）求∠B的度数：

（2）求证：BC＝3CE．

Answer 1

【答案】（1）∠B=30°；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据余角的性质得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到结论；

（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵AE⊥CD，

∴∠AFC＝∠ACB＝90°，

∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，

∴∠ECF＝∠CAF，

∵∠EAD＝∠DCB，

∴∠CAD＝2∠DCB，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝30°；

（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，

∴AE＝BE，CE＝AE，

∴BC＝3CE．