Question

14．观察下面分式：
$\frac{1}{x×3x}$+$\frac{1}{3x×5x}$+$\frac{1}{5x×7x}$+$\frac{1}{7x×9x}$+…+$\frac{1}{17x×19x}$．
（1）计算相邻两个分式的和或按顺序计算所得的和，你有什么发现？
（2）根据你发现的规律写出当x=2时这个式子的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{x×3x}$=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3x×5x}$=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5x×7x}$=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）…-，进一步代入抵消计算得出答案即可；
（2）把x=2代入（1）中的化简结果，求得数值即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{x×3x}$-+$\frac{1}{3x×5x}$+$\frac{1}{5x×7x}$+$\frac{1}{7x×9x}$+…+$\frac{1}{17x×19x}$
=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（1-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2{x}^{2}}$×$\frac{18}{19}$
=$\frac{9}{19{x}^{2}}$；
（2）当x=2时，
原式=$\frac{9}{76}$．

点评 此题考查分式的化简求值，找出拆分的方法，得出运算规律，运用规律拆分计算即可．