Question

已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A、B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F．若△EFC的面积与四边形PEFC的面积之比为3：20，则tan∠BPC=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，易证△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，则ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．设AB=BC=1，AP=CG=x，用含x的代数式分别表示S_△EFC，S_{四边形PEFC}，根据△EFC与四边形PEFC的面积之比为 3：20，列出关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据正切函数的定义即可求出tan∠BPC的值．

解答：
解：作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，
∵PE⊥PC，
∴∠MPE+∠BPC=90°，
∵∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠MEP=∠BPC，
在Rt△PBC和Rt△EMP中

∠MEP=∠BPC ∠PBC=∠PME=90° PE=PC

∴Rt△PBC≌Rt△EMP（AAS）
∴PM=BC，ME=PB；
∴PM=AB，
∴PM+PA=AB+PA，
∴MA=ME，
∵MA=ME，AM⊥EM，
∴∠MAE=45°，
∴PB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
∴CD=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG，
设AB=BC=1，AP=CG=x，则
S_{四边形PEFC}=S_矩形BMEG-2S_三角形BPC-S_三角形FCG=（2+x）（1+x）-（1+x）-

1

2

（1+x）x=

1

2

x²+

3

2

x+1，
S_△EFC=

1

2

x；
∵△EFC与四边形PEFC的面积之比为

3

20

，
∴

1

2

x：（

1

2

x²+

3

2

x+1）=3：20，
解得x=3或

2

3

，
∵tan∠BPC=

BC

BP

=

1

1+x

，
∴当x=3时，tan∠BPC=

1

1+3

=

1

4

；
当x=

2

3

时，tan∠BPC=

1

1+ 2 3

=

3

5

．
tan∠BPC=

1

4

或

3

5

．
故答案为：

1

4

或

3

5

．

点评：本题考查了等腰直角三角形、平行四边形、全等三角形的判定与性质，四边形的面积，锐角三角函数的定义，综合性较强，难度较大．运用数形结合思想及正确地作出辅助线是解题的关键．