Question

已知，如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC=13，BC=24，PA∥BC，割线PBD过圆心，交⊙O于另一个点D，连接CD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求：⊙O的半径及CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA，设OA交BC于G．
∵AB=AC，
∴=
∵OA过圆心O，
∴OA⊥BC．
∵PA∥BC，
∴OA⊥PA．
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：∵AB=AC，OA⊥BC，
∴BG=BC=12．
∵AB=13，
∴AG=．
设⊙O的半径为R，则OG=R-5．
在Rt△OBG中，∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²．
解得，R=16.9．
∴OG=11.9．
∵BD是⊙O的直径，
∴DC⊥BC，又OG⊥BC，
∴OG∥DC，又O是BD中点，
∴OG是△BCD的中位线．
∴DC=2OG=23.8．
分析：（1）连接OA，设OA交BC于G．由AB=AC，得=，再由PA∥BC，则OA⊥PA，则PA是⊙O的切线．
（2）由（1）得BG=BC，根据勾股定理得出AG，设⊙O的半径为R，则OG=R-5．再由勾股定理求得OG．因为BD是⊙O的直径，则DC⊥BC，从而得出OG是△BCD的中位线．即可得出DC．
点评：本题考查了切线的判定和性质勾股定理以及三角形的中位线定理．