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【题目】请按照研究问题的步骤依次完成任务.

(问题背景)

1)如图1的图形我们把它称为“8字形 请说理证明∠A+B=C+D

(简单应用)

2)如图2APCP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数(可直接使用问题(1)中的结论)

(问题探究)

3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FADCP平分∠BCD的外角∠BCE 若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为

(拓展延伸)

4)在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=CAB,∠CDP=CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 (用xy表示∠P

5)在图5中,AP平分∠BADCP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠BD的关系,直接写出结论

【答案】1)见解析;(2)∠P=23;(3)∠P=26;(4)∠P=;(5)∠P=

【解析】

1)根据三角形内角和定理即可证明;
2)如图2,根据角平分线的性质得到∠1=2,∠3=4,列方程组即可得到结论;
3)由AP平分∠BAD的外角∠FADCP平分∠BCD的外角∠BCE,推出∠1=2,∠3=4,推出∠PAD=180°-2,∠PCD=180°-3,由∠P+180°-1=D+180°-3),∠P+1=B+4,推出2P=B+D,即可解决问题;
4)根据题意得出∠B+CAB=C+BDC,再结合∠CAP=CAB,∠CDP=CDB,得到y+(∠CAB-CAB=P+(∠BDC-CDB),从而可得∠P=y+CAB-CAB-CDB+CDB=

5)根据题意得出∠B+BAD=D+BCD,∠DAP+P=PCD+D,再结合AP平分∠BADCP平分∠BCD的外角∠BCE,得到BAD+P=[BCD+180°-BCD]+D,所以∠P=90°+BCD-BAD +D=.

解:(1)证明:在△AOB中,∠A+B+AOB=180°
在△COD中,∠C+D+COD=180°
∵∠AOB=COD
∴∠A+B=C+D
2)解:如图2,∵APCP分别平分∠BAD,∠BCD
∴∠1=2,∠3=4
由(1)的结论得:

+②,得2P+2+3=1+4+B+D

∴∠P=(∠B+D=23°
3)解:如图3

AP平分∠BAD的外角∠FADCP平分∠BCD的外角∠BCE
∴∠1=2,∠3=4
∴∠PAD=180°-2,∠PCD=180°-3
∵∠P+180°-1=D+180°-3),
P+1=B+4
2P=B+D
∴∠P=(∠B+D=×36°+16°=26°
故答案为:26°
4)由题意可得:∠B+CAB=C+BDC

y+CAB=x+BDC,即∠CAB-BDC=x-y

B+BAP=P+PDB

y+BAP=P+PDB

y+(∠CAB-CAP=P+(∠BDC-CDP),

y+(∠CAB-CAB=P+(∠BDC-CDB),

∴∠P=y+CAB-CAB-CDB+CDB

= y+(∠CAB-CDB

=y+x-y

=

故答案为:∠P=

5)由题意可得:∠B+BAD=D+BCD

DAP+P=PCD+D

∴∠B-D=BCD-BAD

AP平分∠BADCP平分∠BCD的外角∠BCE

∴∠BAP=DAP,∠PCE=PCB

BAD+P=(∠BCD+BCE+D

BAD+P=[BCD+180°-BCD]+D

∴∠P=90°+BCD-BAD +D

=90°+(∠BCD-BAD+D

=90°+(∠B-D+D

=

故答案为:∠P=.

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