Question

12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，AF、BH、CE为△ABC的三条中线，若S_{四边形ABCD}=2，求以AF、BH、CE为边长的三角形面积．小明认为连接DE，则△DEC的面积就是以AF、BH、CE为边长的三角形面积．小明的想法对吗？请说明你的理由，并且求出AF、BH、CE为边长的三角形面积．

Answer 1

分析 连接EH、DH，先证明四边形AFCD是平行四边形，得出AF=CD，再证明EH是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BC，EH=$\frac{1}{2}$BC，证出四边形AEHD是平行四边形，得出AE∥DH，AE=DH，因此BE∥DH，BE=DH，证明四边形BHDE是平行四边形，得出BH=DE，得出△DEC的面积就是以AF、BH、CE为边长的三角形面积，小明的想法对；延长DE交CB的延长线于G，由AAS证明△BEG≌△AED，得出对应边相等GE=DE，△BEG的面积=△AED的面积，得出△DEC的面积=△GEC的面积=$\frac{1}{2}$△DGC的面积，△DGC的面积=四边形ABCD的面积，即可得出结果．

解答 解：小明的想法对；理由如下：
连接EH、DH，如图所示：
∵AF是BC的中线，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=CF，AD∥CF，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD，
∵BH、CE为△ABC的中线，
∴EH是△ABC的中位线，AE=BE，
∴EH∥BC，EH=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD∥EH，AD=EH，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴AE∥DH，AE=DH，
∴BE∥DH，BE=DH，
∴四边形BHDE是平行四边形，
∴BH=DE，
∴△DEC的面积就是以AF、BH、CE为边长的三角形面积，
延长DE交CB的延长线于G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠ADE，
在△BEG和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ADE}&{\;}\\{∠BEG=∠AED}&{\;}\\{BE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△AED（AAS），
∴GE=DE，△BEG的面积=△AED的面积，
∴△DEC的面积=△GEC的面积=$\frac{1}{2}$△DGC的面积，
△DGC的面积=四边形ABCD的面积，
∴AF、BH、CE为边长的三角形面积=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=1．

点评 本题的面积及等积变换综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的中线性质、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线，多次证明四边形是平行四边形才能得出结果．