Question

如图，四边形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD，对角线AC⊥BD于点O，若AD=

2

CD，则∠ADC的度数为（　　）

• A、100°
• B、105°
• C、85°
• D、95°

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：

分析：先由△BCD是等腰直角三角形，得出∠CDB=∠CBD=45°，再证明△COD是等腰直角三角形，得出CD=

2

OD，而AD=

2

CD，则AD=2OD．于是在直角△AOD中，根据sin∠OAD=

OD

AD

=

1

2

，得出∠OAD=30°，∠ODA=60°，然后根据∠ADC=∠ODA+∠CDO即可求解．

解答：解：∵△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=45°，
∵AC⊥BD于点O，
∴∠COD=90°，∠OCD=45°，△COD是等腰直角三角形，
∴CD=

2

OD，
∵AD=

2

CD，
∴AD=

2

CD=

2

×

2

OD=2OD．
在直角△AOD中，∠AOD=90°，
∴sin∠OAD=

OD

AD

=

1

2

，
∴∠OAD=30°，
∴∠ODA=90°-30°=60°，
∴∠ADC=∠ODA+∠CDO=60°+45°=105°．
故选B．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度适中．得出AD=2OD是解题的关键．