Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD 中，边CD 5 ，对角线 AC 8 ， DB 6.

（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；

（2）过点 D 作 DH AB 于点 H ，若点 P 是线段 AC 上的一个动点，求 PH PB 的最小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PH PB最小值为9.6.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得OD=BD，OC=AC，利用勾股定理的逆定理可证△OCD为直角三角形，即∠COD=90°，再根据菱形的判定定理即可得证；

（2）由菱形的性质可得B点关于AC的对称点是点D，则DH即为PH+PB的最小值，利用菱形的面积公式即可求得DH的长.

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OD=BD=3，OC=AC=4，

∵，

∴∠COD=90°，

∴AC与BD互相垂直平分，

∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵BD⊥AC，OB=OD，

∴DH即为PH+PB的最小值，

∵S菱形ABCD=AC·BD=DH·AB，

∴6×8=5·DH，

解得DH=9.6.