Question

【题目】如图，已知平行四边形ABCD延长BA到点E，延长DC到点E，使得AE＝CF，连结EF，分别交AD、BC于点M、N，连结BM，DN．

（1）求证：AM＝CN；

（2）连结DE，若BE＝DE，则四边形BMDN是什么特殊的四边形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形BMDN是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）由题意可证△AEM≌△FNC，可得结论．

（2）由题意可证四边形BMDN是平行四边形，由题意可得BE=DE=DF，即可证∠BEM=∠DEF，即可证△BEM≌△DEM，可得BM=DM，即可得结论．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD

∴∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN

∵∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，AE＝CF

∴△AEM≌△CFN

∴AM＝CN

（2）菱形

如图

∵AD＝BC，AM＝CN

∴MD＝BN且AD∥BC

∴四边形BMDN是平行四边形

∵AB＝CD，AE＝CF

∴BE＝DF，且BE＝DE

∴DE＝DF

∴∠DEF＝∠DFE

且∠BEF＝∠DFE

∴∠BEF＝∠DEF，且BE＝DE，EM＝EM

∴△BEM≌△EMD

∴BM＝DM

∵四边形BMDN是平行四边形

∴四边形BMDN是菱形.