Question

【题目】已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+2；（2）10+2；（3）（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．

【解析】

试题分析：（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．

解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，

α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，

∴=﹣2，即=﹣2，

解得：m=1，

故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，

∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），

又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，

∴E点坐标为：（4，2），

作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，

则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），

连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，

此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：

延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，

则D′E′===10，

设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

∴DE===2，

∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；

（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，

∴PH=DG=4，

∴|y|=4，

∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，

解得：x3=2+，x4=2﹣，

故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．