Question

如图，已知直线y=-

3

4

x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在反比例函数y=

k

x

(x＞0)上，△ABC是等腰直角三角形，且∠CBA=90°．
（1）求k的值；
（2）把等腰Rt△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，点D在反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象上吗？请计算说明．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）作CD⊥y轴于点D，则△OAB≌△DBC，据此即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得AC的解析式，然后求得直线AC与过B且与直线AC垂直的直线的解析式，得到两直线的交点，从而求得B关于AC的对称点的坐标，然后代入反比例函数的解析式进行检验即可．

解答：解：（1）作CD⊥y轴于点D．
在y=-

3

4

x+3中，令x=0，解得：y=3，则B的坐标是（0，3）；
令y=0，解得：x=4，则A的坐标是（4，0），
则△OAB≌△DBC，
∴BD=OA=4，CD=OB=3，
则C的坐标是（3，7），代入y=

k

x

，解得：k=21；
（2）设直线CA的解析式是y=kx+b，则

4k+b=0 3k+b=7

，
解得：

k=-7 b=28

，
则直线AC的解析式是：y=-7x+28．
设过B于直线AC垂直的直线的解析式是y=

1

7

x+c，则把（0，3）代入得：c=3，
则解析式是：y=

1

7

x+3，
解方程组：

y=-7x+28 y= 1 7 x+3

，解得：

x= 7 2 y= 7 2

，
则B关于直线CA的对称点的坐标是：（7，4），
（7，4）不在函数y=

21

x

的图象上．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及图象的交点的求法，正确求得B的对称点的坐标是关键．