Question

7．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）如图1，求证：AE=BF；
（2）如图2，当∠BAG=30°，且AB=2时，求EF-FG的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据角角之间的等量代换得到∠ABF=∠DAE，结合AB=AD，∠AED=∠BFA，利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到AE=BF；
（2）首先求出BF和AE的长度，然后在Rt△BFG中求出BG=2FG，利用勾股定理得到BG²=FG²+BF²，进而求出FG的长，于是可得EF-FG的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
又∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABF=∠DAE}\\{∠AED=∠BFA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵∠BAG=30°，AB=2，∠BEA=90°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=1，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴EF=AF-AE=AF-BF=$\sqrt{3}$-1，
∵BF⊥AG，∠ABG=90°，∠BAG=30°，
∴∠FBC=30°，
∴BG=2FG，
由BG²=FG²+BF²，
∴4FG²=FG²+1，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EF-FG=$\sqrt{3}$-1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解答本题的关键是根据AAS证明△ABF≌△DAE，此题难度一般．