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【题目】如图①,已知点在线段上,在中,

,且的中点.

1)连接并延长交,求证:

2)直接写出线段的关系:

3)若将绕点逆时针旋转,使点在线段的延长线上(如图②所示位置),则(2)中的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2;(3)成立,证明见解析;

【解析】

1)由∠ABC=∠ADE90°可推出DEBC,再根据平行线的性质,推出∠DEM=∠MCN,根据ASA证明EMD≌△CMN,求出CNED,即可得到CNAD

2)由(1)可知CNADDMMN,再由ABBC,可得BDBN,从而可得DBN是等腰直角三角形,且BM是底边DN上的中线,即可得到BMDM

3)作CNDEDM的延长线于N,连接BN,根据平行线的性质求出∠EDM=∠CNM,利用AAS证明EMD≌△CMN,得到CNDEDAMNMD,∠E=∠NCM45°,然后根据SASDBA≌△NBC,推出DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,根据等腰直角三角形的性质即可进行证明.

解:(1)∵ADDEABBC

ABCADE为等腰直角三角形,

DEBC

∴∠DEM=∠NCM

EMDCMN中,

∴△EMD≌△CMNASA),

CNDE

ADDE

CNAD

2BMDM

理由:由(1)得:EMD≌△CMN

CNADDMMN

BABC

BDBN

∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,

BMDM

3BMDM仍成立,

证明:如图,作CNDEDM的延长线于N,连接BN

∴∠EDM=∠CNM

EMDCMN中,

∴△EMD≌△CMNAAS),

CNDEDAMNMD,∠E=∠NCM45°

又∵∠DAB180°DAEBAC90°,∠BCN=∠BCM+∠NCM45°45°90°

∴∠DAB=∠BCN

DBANBC中,

∴△DBA≌△NBCSAS),

∴∠DBA=∠NBCDBBN

∴∠DBN=∠ABC90°

∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,

BMDM

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