【题目】如图①,已知点在线段上,在和中,,,
,且为的中点.
(1)连接并延长交于,求证:;
(2)直接写出线段与的关系: ;
(3)若将绕点逆时针旋转,使点在线段的延长线上(如图②所示位置),则(2)中的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2),;(3)成立,证明见解析;
【解析】
(1)由∠ABC=∠ADE=90°可推出DE∥BC,再根据平行线的性质,推出∠DEM=∠MCN,根据ASA证明△EMD≌△CMN,求出CN=ED,即可得到CN=AD;
(2)由(1)可知CN=AD,DM=MN,再由AB=BC,可得BD=BN,从而可得△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边DN上的中线,即可得到,BM⊥DM;
(3)作CN∥DE交DM的延长线于N,连接BN,根据平行线的性质求出∠EDM=∠CNM,利用AAS证明△EMD≌△CMN,得到CN=DE=DA,MN=MD,∠E=∠NCM=45°,然后根据SAS证△DBA≌△NBC,推出△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,根据等腰直角三角形的性质即可进行证明.
解:(1)∵AD=DE,AB=BC,,
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形,,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠NCM,
在△EMD和△CMN中,,
∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE,
∵AD=DE,
∴CN=AD;
(2),BM⊥DM,
理由:由(1)得:△EMD≌△CMN,
∴CN=AD,DM=MN,
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴,BM⊥DM;
(3),BM⊥DM仍成立,
证明:如图,作CN∥DE交DM的延长线于N,连接BN,
∴∠EDM=∠CNM,
在△EMD与△CMN中,,
∴△EMD≌△CMN(AAS),
∴CN=DE=DA,MN=MD,∠E=∠NCM=45°,
又∵∠DAB=180°∠DAE∠BAC=90°,∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°,
∴∠DAB=∠BCN,
在△DBA和△NBC中,,
∴△DBA≌△NBC(SAS),
∴∠DBA=∠NBC,DB=BN,
∴∠DBN=∠ABC=90°,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴,BM⊥DM.
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【题目】如图,Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°,在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点,
(1)求证:以O为圆心,以OC为半径的圆与AB相切.
(2)下列结论正确的序号是___________.(少选酌情给分,多选、错均不给分)
①AO=2CO ;
②AO=BC;
③延长BC交⊙O与D,则A、B、D是⊙O的三等分点.
④图中阴影面积为:
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【题目】如图,已知AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=2AD=4,点M为边BC的中点,点E、F在边AB、CD上运动,点P在线段MC上运动,连接EF、EP、PF,则△EFP的周长最小值为_____.
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【题目】阅读并解答:
①方程x2﹣2x+1=0的根是,则有.
②方程2x2﹣x﹣2=0的根是=,=,则有,.
③方程3x2+4x﹣7=0的根是,,则有,.
(1)根据以上①②③请你猜想:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为,那么与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;
(2)利用你的猜想结论,解决下面的问题:
已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根,且,求k的值
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【题目】如图,已知点,在反比例函数的图象上,直线分别与轴、轴相交于、两点.
(1)求直线的解析式:
(2)求、两点坐标;
(3)连接、,记的面积为、面积为,求的值.
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【题目】已知,如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,且经过点
(1)求该抛物线的解析式,顶点坐标和对称轴;
(2)在抛物线上是否存在一点,使的面积与的面积相等(点不与点重合)?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】一个二次函数图象的顶点坐标为(-1,2),于y轴交点的纵坐标为
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(3) 已知两点A(-2020,a),B(2019,b)在此二次函数图象上,请比较a与b的大小。a b(用>,=或<填空)
(4)根据图像,当-2<x<2时,请直接写出y的取值范围
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C
(1)求直线AC的解析式;
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点(不与点A,点C重合),过点P作PD⊥x轴交AC于点D,求PD的最大值;
(3)将△BOC沿直线BC平移,点B平移后的对应点为点B′,点O平移后的对应点为点O′,点C平移后的对应点为点C′,点S是坐标平面内一点,若以A,C,O′,S为顶点的四边形是菱形,求出所有符合条件的点S的坐标.
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