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【题目】如图,已知ADBC,∠B90°,∠C60°,BC2AD4,点M为边BC的中点,点EF在边ABCD上运动,点P在线段MC上运动,连接EFEPPF,则△EFP的周长最小值为_____

【答案】2

【解析】

作梯形ABCD关于AB的轴对称图形,将 QC'绕点C'逆时针旋转60°,点Q的对应点为F',连接F'M,交C' D'于点G,交AB与点E',延长QE'CD于点F,,则有GE'=FE'PQ是关于AB的对称点,当点F'GP三点在一条直线上时,△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P,此时点P与点M重合,F'M为所求长度;过点F'F'HBC'MBC中点,则QBC'中点,由已知条件∠B=90°,∠C=60°BC=2AD=4,可得C'Q=F'C'=2,∠F'C'H=60°,所以F'H=HC'=7,在Rt△MF'H中,F'M=2.

解:作梯形ABCD关于AB的轴对称图形,将 QC'绕点C'逆时针旋转60°,点Q的对应点为F',连接F'M,交C' D'于点G,交AB与点E',延长QE'CD于点F

则有GE'FE'PQ是关于AB的对称点,

PFGQ

GF'GQ

当点F'GP三点在一条直线上时,FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P

此时点P与点M重合,

F'M为所求长度;

过点F'F'HBC'

MBC中点,

QBC'中点,

∵∠B90°C60°BC2AD4

C'QF'C'2F'C'H60°

F'HHC'7

Rt△MF'H中,F'M2

∴△FEP的周长最小值为2

故答案为2

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