Question

2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求证：AE=CF；
（2）连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连接EG、FG，判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△DAE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据全等三角形的性质得到DE=DF，证明DG是EF的垂直平分线，得到DE=EG=GF=GF，证明结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{DA=DC}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形，
∵△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∵AE=CF，
∴BE=BF，
∴DG是EF的垂直平分线，
∴GE=GF，
∵OG=OD，DG⊥EF，
∴ED=EG，
∴DE=EG=GF=GF，
∴四边形DEGF是菱形．

点评 本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．