Question

【题目】已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．

（1）求切线BC的解析式；

（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）G（，+2 ）.

【解析】

（1）连接AC，由于BC与⊙A相切，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，进而用待定系数法求出直线BC的解析式．

（2）可设出G点的坐标（设横坐标，利用直线BC的解析式表示纵坐标），连接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切线，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的长易求得，根据∠AGC的度数，即可求得AG的长；过G作GH⊥x轴于H，在Rt△GAH中，可根据G点的坐标表示出AH、GH的长，进而由勾股定理求得G点的坐标．

解：（1）如图1所示，连接AC，则AC＝．

在Rt△AOC中，AC＝，OA＝1，则OC＝2，

∴点C的坐标为（0，2）．

设切线BC的解析式为y＝kx+b，

它过点C（0，2），B（﹣4，0），

则有，

解之得，

∴；

（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），

∵点G在直线y＝x+2上，

∴c＝a+2，

过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，则OH＝a，GH＝c＝a+2，连接AP，AG．

∵AC＝AP，AG＝AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG （HL），

∴∠AGC＝×120°＝60°．

在Rt△ACG中，

∵∠AGC＝60°，AC＝，

∴sin60°＝，

∴AG＝．

在Rt△AGH中，AH＝OH﹣OA＝a﹣1，GH＝a+2，

∵AH2+GH2＝AG2，

∴（a﹣1）2+＝ ，

解之得：a1＝，a2＝﹣（舍去），

点G的坐标为（， +2 ）．