Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx经过A（2，0），直线y=x+m分别交x轴、y轴于点C、B，点D是抛物线上横坐标为m的点，作DE⊥x轴于E，DE所在的直线与直线y=x+m交于点F．
（1）求该抛物线解析式；
（2）随着m的变化，试探究：
①当m取何值时，点D和点F重合；
②当1＜m＜2时，用含m的代数式表示DF的长度；
（3）将DF绕D顺时针旋转90°得到DF′，连结E F′，是否存在△DE F′与△CEF相似？若有，请求出m的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx经过A（2，0），
∴-2²+2b=0，
解得b=2，
∴该抛物线解析式为y=-x²+2x；

（2）①∵y=-x²+2x，
∴当x=m时，y=-m²+2m，
即D点坐标为（m，-m²+2m），
∵y=x+m，
∴当x=m时，y=m+m=m，
即F点坐标为（m，m）．
∵点D和点F重合，
∴-m²+2m=m，
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=；
综上所述，m的值是；

②∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴当1＜m＜2时，点F在点D的上方，
∴DF=EF-DE=m-（-m²+2m）=m²-m；

（3）存在m=或m=1，使△DE F′与△CEF相似．
理由如下：令y=0，则x+m=0，
解得x=-2m，
∴C（-2m，0），
∵点D的横坐标是m，
∴D（m，-m²+2m），F（m，m），E（m，0），
∴CE=3m，EF=m，DE=-m²+2m，DF′=DF=m²-m，
∴==，==，
∵△DE F′与△CEF相似，
∴=或=2，
解得m=或m=1，
故，存在m=或m=1，使△DE F′与△CEF相似．
分析：（1）把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）①根据一次函数、二次函数图象上点的坐标特征设D点坐标为（m，-m²+2m），F点坐标为（m，m），根据点D、F重合，它们的纵坐标相等，列出关于m的方程-m²+2m=m，然后解方程即可得到m的值；
②由（1）中抛物线的解析式求出顶点坐标，再根据1＜m＜2可知点F在点D的上方，然后根据DF=EF-DE，代入数据整理即可得解；
（3）根据直线解析式求出点C的坐标，再表示出点D、E、F的坐标，然后求出EF、DF、DE的长，再根据相似三角形对应边成比例分两种情况讨论求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形对应边成比例的性质，综合题，但难度不大．