Question

1．如图1，AB为⊙O的直径，点C，G都在⊙O上，$\widehat{CG}$=$\widehat{CB}$，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC、AC、BG，BG与AC相交于点E．
（1）求证：BG=2CD；
（2）若⊙O的直径为5$\sqrt{5}$，BC=5，求CE的长；
（3）如图2，在（2）条件下，延长CD、ED，分别与⊙O相交于点M，N，连接MN，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长CD交⊙O于点F，由垂径定理可知，2CD=CF，所以只需要证明BG=CF即可；
（2）由勾股定理可求得AC=10，再利用$\widehat{BF}$=$\widehat{BC}$，可知∠CBG=∠BAC，所以可证明△BCE∽△ACB，然后利用对应边的比相等即可求出CE；
（3）过点E作EI⊥AB于点I，过点N作NH⊥AB于点H，作NF⊥CM于点F，连接ON，利用相似三角形的性质和勾股定理分别求出BD、EI、ID的长度，并求出$\frac{NH}{DH}$的比值，利用勾股定理求出NH、DH的长度，进而求出MN的长度．

解答 （1）证明：如图1，延长CD交⊙O于点F，
∵CD⊥AB，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{BC}$，CF=2CD，
∵$\widehat{CG}$=$\widehat{CB}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CG}$，
∴$\widehat{FC}$=$\widehat{BG}$，
∴BG=CF，
∵CF=2CD
∴BG=2CD；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5$\sqrt{5}$，BC=5，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=10，
∵$\widehat{CG}$=$\widehat{CB}$，
∴∠CBG=∠BAC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴$\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{CE}{5}=\frac{5}{10}$，
∴CE=2.5；
（3）过点E作EI⊥AB于点I，过点N作NH⊥AB于点H，作NF⊥CM于点F，
连接ON，
易证△BCD∽△CAB，
∴BC²=BD•AB，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AD=5$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$，
由（2）可知：CE=$\frac{5}{2}$，
∴AE=10-$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∵EI∥CD，
∴△AEI∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AI}{AD}$，
∴AI=3$\sqrt{5}$，
∴DI=AD-AI=$\sqrt{5}$，
由勾股定理可求得：EI=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
∵EI∥HN，
∴△EID∽△NHD，
∴$\frac{EI}{ID}=\frac{NH}{DH}$，
∴$\frac{NH}{DH}$=$\frac{3}{2}$，
设NH=3x，DH=2x，
∵OD=OB-BD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∴OH=OD+DH=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$+2x，
在Rt△OHN中，
由勾股定理可得：（$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$）²=（$\frac{3}{2}\sqrt{5}$+2x）²+（3x）²，
∴13x²+6$\sqrt{5}$x-20=0，
x=$\frac{-3\sqrt{5}±\sqrt{305}}{13}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{305}}{13}$
由勾股定理可知：CD=2$\sqrt{5}$，
∴DM=CD=2$\sqrt{5}$，
∴MF=2$\sqrt{5}$-3x，NF=DH=2x，
∴由勾股定理可求得：MN²=MF²+DH²，
∴MN²=20-12$\sqrt{5}$x+13x²=40-18$\sqrt{5}$x=$\frac{790-90\sqrt{61}}{13}$，
∴MN=$\sqrt{\frac{790-90\sqrt{61}}{13}}$

点评 本题考查了圆周角定理、圆心角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，用到的知识点很多，对学生综合运用知识的能力要求很高．