【题目】已知,在矩形ABCD中,连接对角线AC,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG,并将它沿直线AB向左平移,直线EG与BC交于点H,连接AH,CG.
(1)如图①,当AB=BC,点F平移到线段BA上时,线段AH,CG有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你的猜想;
(2)如图②,当AB=BC,点F平移到线段BA的延长线上时,(1)中的结论是否成立,请说明理由;
(3)如图③,当AB=nBC(n≠1)时,对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作,线段AH,CG有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你的猜想.
【答案】(1) AH=CG,AH⊥CG ;(2) 仍然成立,理由详见解析;(3) AH=nCG,AH⊥CG.理由详见解析.
【解析】
试题分析:(1)延长AH与CG交于点T,如图①,易证BH=BG,从而可证到△ABH≌△CBG,则有AH=CG,∠HAB=∠GCB,从而可证到∠HAB+∠AGC=90°,进而可证到AH⊥CG.
(2)延长CG与AH交于点Q,如图②,仿照(1)中的证明方法就可解决问题.
(3)延长AH与CG交于点N,如图③,易证BH∥EF,可得△GBH∽△GFE,则有,也就有
,从而可证到△ABH∽△CBG,则有
=n,∠HAB=∠GCB,进而可证到AH=nCG,AH⊥CG.
试题解析:(1)AH=CG,AH⊥CG.
证明:延长AH与CG交于点T,如图①,
由旋转和平移的性质可得:EF=AB,FG=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四边形ABCD是矩形,AB=BC,
∴EF=GF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠CBG=90°,∠EGF=45°.
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF.
∴BH=BG.
在△ABH和△CBG中,
AB=BC,∠ABH=∠CBG,BH=BG,
∴△ABH≌△CBG(SAS).
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°.
∴∠ATC=90°.
∴AH⊥CG.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:延长CG与AH交于点Q,如图②,
由旋转和平移的性质可得:EF=AB,FG=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四边形ABCD是矩形,AB=BC,
∴EF=GF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠ABH=90°,∠EGF=45°.
∴∠BGH=∠EGF=45°.
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH.
∴BH=BG.
在△ABH和△CBG中,
AB=BC,∠ABH=∠CBG,BH=BG,
∴△ABH≌△CBG(SAS).
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°.
∴∠CQA=90°.
∴CG⊥AH.
(3)AH=nCG,AH⊥CG.理由如下:
延长AH与CG交于点N,如图③,
由旋转和平移的性质可得:EF=AB,FG=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四边形ABCD是矩形,AB=nBC,
∴EF=nGF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠EFG+∠ABC=180°.
∴BH∥EF.
∴△GBH∽△GFE.
∴.
∵,
∴.
∵∠ABH=∠CBG,
∴△ABH∽△CBG.
∴=n,∠HAB=∠GCB.
∴AH=nCG,∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°.
∴∠ANC=90°.
∴AH⊥CG.
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【题目】小王玩游戏:一张纸片,第一次将其撕成四小片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片,如此进行下去.
(1)填空:当小王撕了3次后,共有张纸片;
(2)填空:当小王撕了n次后,共有张纸片.(用含n的代数式表示)
(3)小王说:我撕了若干次后,共有纸片2013张,小王说的对不对?若不对,请说明你的理由;若对的,请指出小王需撕多少次?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有下列说法: ① 没有立方根;
②实数与数轴上的点一一对应;
③近似数3.20万,该数精确到千位;
④ 是分数;
⑤近似数5.60所表示的准确数x的范围是:5.55≤x<5.65
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,1.5),我们把以点C为圆心,半径为1.5的圆称为点C的朋友圈,圆周上的每一个点叫做点C的一个好友.
(1)写出点C的两个好友坐标;
(2)直线l的解析式是y=x﹣4,与x轴、y轴分别交于A、B两点,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当点C的朋友圈有好友落在直线上时,直线将受其影响,求在点C向下运动的过程中,直线受其影响的时间;
(3)抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A,且顶点D恰好为点C的好友,连接OD.E为⊙C上一点,当△DOE面积最大时,求点E的坐标,此时△DOE的面积是多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2016年2月上旬福州地区空气质量指数(AQI)如下表所示,空气质量指数不大于100表示空气质量优良,如果小王该月上旬来福州度假三天那么他在福州度假期间空气质量都是优良的概率是 .
2016年2月上旬福州地区空气质量指数(AQI)
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
ug/m3 | 26 | 34 | 43 | 41 | 34 | 48 | 78 | 1 15 | 59 | 45 |
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