【题目】如图,AB是的直径,点C、D在
上,且AD平分
,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F,G为AB的下半圆弧的中点,DG交AB于H,连接DB、GB.
证明EF是
的切线;
求证:
;
已知圆的半径
,
,求GH的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)由题意可证OD∥AE,且EF⊥AE,可得EF⊥OD,即EF是⊙O的切线;(2)由同弧所对的圆周角相等,可得∠DAB=∠DGB,由余角的性质可得∠DGB=∠BDF;(3)由题意可得∠BOG=90°,根据勾股定理可求GH的长.
解:(1)证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AE,
又∵EF⊥AE,
∴OD⊥EF,
∴EF是⊙O的切线
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠OBD=90°
由(1)得,EF是⊙O的切线,
∴∠ODF=90°
∴∠BDF+∠ODB=90°
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD
∴∠DAB=∠BDF
又∠DAB=∠DGB
∴∠DGB=∠BDF
(3)连接OG,
∵G是半圆弧中点,
∴∠BOG=90°
在Rt△OGH中,OG=5,OH=OB﹣BH=5﹣3=2.
∴GH==
.
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【题目】甲、乙两车分别从A,B两地同时相向匀速行驶.当乙车到达A地后,继续保持原速向远离B的方向行驶,而甲车到达A地后立即掉头,并保持原速与乙车同向行驶,经过一段时间后两车同时到达C地.设两车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),y与x之间的函数关系如图所示,则B,C两地相距 千米.
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【题目】如图,BE是O的直径,点A和点D是⊙O上的两点,过点A作⊙O的切线交BE延长线于点.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求⊙O半径的长.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于点A(1,3),B(3,1)两点,当一次函数大于反比例函数的值时,x的取值范围是( )
A. x<1 B. 1<x<3 C. x>3 D. x>4
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C(0,3),A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0).点P是抛物线上一个动点,且在直线BC的上方.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大,并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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【题目】如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ的高度( )
A. 6+2 B. 6+
C. 10﹣
D. 8+
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【题目】(6分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系,格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2,2),B(﹣3,1),C(﹣1,0).
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△DEF,画出△DEF;
(2)以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格内画出放大后的△A1B1C1,若P(x,y)为△ABC中的任意一点,这次变换后的对应点P1的坐标为 .
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