【题目】如图,已知抛物线过点,,过定点的直线:与抛物线交于、两点,点在点的右侧,过点作轴的垂线,垂足为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在抛物线上运动时,判断线段与的数量关系(、、),并证明你的判断;
(3)为轴上一点,以、、、为顶点的四边形是菱形,设点,求自然数的值.
【答案】(1); (2);(3)6
【解析】
(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)设B(,),而F(0,2),利用两点间的距离公式得到,再利用配方法可得到,由于BC=,所以BF=BC;
(3)利用菱形的性质得到CB=CF=PF,加上CB=FB,则可判断△BCF为等边三角形,所以∠BCF=60°,则∠OCF=30°,于是可计算出CF=4,所以PF=CF=4,从而得到自然数m的值为6;
解:(1)把点(2,2),(4,5)代入得
,
解得:
所以抛物线解析式为;
(2)BF=BC.
理由如下:
设B(,),而F(0,2),
∴,
∴,
∵BC⊥x轴,
∴BC=,
∴BF=BC;
(3)如图,
m为自然数,
则点P在F点上方,
∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形,
∴CB=CF=PF,
而CB=FB,
∴BC=CF=BF,
∴△BCF为等边三角形,
∴∠BCF=60°,
∴∠OCF=30°,
在 中,CF=2OF=4,
∴PF=CF=4,
span>∴P(0,6),
即自然数m的值为6.
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【题目】如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?
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【题目】在等腰△ABC中,AB=AC,将线段BA绕点B顺时针旋转到BD,使BD⊥AC于H,连结AD并延长交BC的延长线于点P.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠BAC=2α,求∠BDA的大小(用含α的式子表示);
(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E,从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.
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【题目】如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标,纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3,…An,…,将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:
①抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn,…都在直线L:y=x上;
②抛物线依次经过点A1,A2,A3…An,….
则M2016顶点的坐标为________.
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【题目】如图 1,两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
⑴ 操作发现:如图 2,固定△ABC,使△DEC 绕点 C 旋转,当点 D 恰好落在 AB 边上时, 填空:
①线段 DE 与 AC 的位置关系是 ;
②设△BDC 的面积为 S1,△AEC 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的数量关系是 .
⑵ 猜想论证
当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时,请猜想(1)中 S1 与 S2 的数量关系是否仍 然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
⑶ 拓展探究
已知∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,BD=CD,BE=6,DE∥AB 交 BC 于点 E(如图 4).若在射线 BA 上存在点 F,使 S△DCF=S△BDE,请求相应的 BF 的长.
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【题目】阅读下列材料:已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2﹣1)=80,试求2m2+n2的值
解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t﹣1)=80,整理得t2﹣1=80,t2=81,∴t=±9因为2m2+n2≥0,所以2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
已知实数x,y满足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2﹣3)=27,求x2+y2的值.
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【题目】如图,等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,∠ADE=60°
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=4,CE=,求△ABC的边长.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:
①4ac<b2;
②a>b>c;
③一次函数y=ax+c的图象不经第四象限;
④m(am+b)+b<a(m是任意实数);
⑤3b+2c>0.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知二次函数y=x2﹣2(k﹣1)x+2.
(1)当k=3时,求函数图象与x轴的交点坐标;
(2)函数图象的对称轴与原点的距离为2,当﹣1≤x≤5时,求此时函数的最小值;
(3)函数图象交y轴于点B,交直线x=4于点C,设二次函数图象上的一点P(x,y)满足0≤x≤4时,y≤2,求k的取值范围.
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