[题目]如图 1.两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．⑴ 操作发现:如图 2.固定△ABC.使△DEC 绕点 C 旋转.当点 D 恰好落在 AB 边上时. 填空:①线段 DE 与 AC 的位置关系是 ,②设△BDC 的面积为 S1.△AEC 的面积为 S2.则 S1 与 S2 的数量关系是．⑵ 猜想论证当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图 1，两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

⑴ 操作发现：如图 2，固定△ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：

①线段 DE 与 AC 的位置关系是；

②设△BDC 的面积为 S1，△AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是．

⑵ 猜想论证

当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，请猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

⑶ 拓展探究

已知∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，BD=CD，BE=6，DE∥AB 交 BC 于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请求相应的 BF 的长．

【答案】（1）①DE∥AC，②S1=S2；（2）S△BDC=S△AEC，理由见详解；（3）6或12

【解析】

（1）①证明∠EDC=∠DCA=60°即可判断．
②首先证明AD=BD，推出△ADC与△BDC的面积相等，再证明△ADC与△ACE的面积相等即可．
（2）作AN⊥EC交EC的延长线于N，DM⊥BC于M，证明△ACN≌△DCM（AAS）即可解决问题．
（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，根据菱形和等边三角形的性质可得结论．

（1）①如图2中，

由旋转可知：CA=CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAD=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∵∠ECD=90°，∠DEC=30°，
∴∠CDE=60°，
∴∠EDC=∠DCA，
∴DE∥AC，
②∵AB=2AC，AD=AC，
∴AD=BD，
∴S△BDC=S△ADC，
∵DE∥AC，
∴S△ADC=S△ACE，
∴S1=S2．
故答案为：DE∥AC，S1=S2．

（2）如图3中，分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，

∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴S△BDC=S△AEC．

（3）如图，过点D作DF∥BE，

DE∥AB，DF∥BE

∴四边形BEDF是平行四边形

∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，
∴ED=EB

∴平行四边形BEDF是菱形

所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，
此时=S△BDE；
过点D作DF′⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F′FD=∠ABC=60°，
∵BF=DF，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F′DB=90°，
∴∠FD F′=60°，
∴△DF F′是等边三角形，
∴DF=D F′，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CD F′=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF∠CD F′，
∵在△CDF和△CD F′中，

∴△CDF≌△CD F′（SAS），
∵S△DCF=S△BDE，
∴点F′也是所求的点，
∵BE=6，
∴BF=BE=DF=F F′=6，
∴B F′=12，
综上，BF的长为6或12．

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