Question

【题目】已知二次函数y＝x2﹣2（k﹣1）x+2．

（1）当k＝3时，求函数图象与x轴的交点坐标；

（2）函数图象的对称轴与原点的距离为2，当﹣1≤x≤5时，求此时函数的最小值；

（3）函数图象交y轴于点B，交直线x＝4于点C，设二次函数图象上的一点P（x，y）满足0≤x≤4时，y≤2，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数图象与x轴的交点坐标为（2﹣，0），（2+，0）；（2）此时函数的最小值为﹣2；（3）k≥3．

【解析】

（1）令y=0，得到关于x的方程，解方程即可；

（2）分两种情况讨论求得即可；

（3）由题意可知，解不等式即可求得.

解：（1）∵k＝3，

∴y＝x2﹣4x+2，

令y＝0，则x2﹣4x+2＝0，

解得x＝2±，

∴函数图象与x轴的交点坐标为（2﹣，0），（2+，0）；

（2）∵函数图象的对称轴与原点的距离为2，

∴＝±2，

解得k＝3或﹣1，

当对称轴为直线x＝﹣2时，则k＝﹣1，

把x＝﹣1代入得，y＝﹣1，

∴此时函数的最小值为﹣1；

当对称轴为x＝2时，则k＝3，

∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2

∴此时函数的最小值为﹣2；

（3）由二次函数y＝x2﹣2（k﹣1）x+2可知B（0，2），开口向上，

设二次函数图象上的一点P（x，y），若满足0≤x≤4时，y≤2，则≥2

∴k≥3．