Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，OC＝5．

（1）求点A的坐标；

（2）点P是从O点出发，沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，交四边形ABCD的边AO或AB于点Q，交OC或BC于点R．设运动时间为t（s），已知t＝3时，直线l恰好经过点 C．

求①点P出发时同时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求当0＜t＜3时S与t的函数关系式；并直接写出S的最大值．

②是否存在某一时刻t，使得△ORE为直角三角形？若存在，请求出相应t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4）；（2）①，S有最大值为；②t的值为4或.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；

（2）①首先求出直线OA、OB、OC、BC的解析式．①求出P、Q的坐标即可解决问题；即可表示出QR和PE的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；

②分三种情况讨论，即∠REO＝90°或∠ORE＝90°或∠ROE＝90°分别求解即可．

解：（1）由题意△OAB是等腰直角三角形，

∵OB＝8，即B（8，0）

∴A（4，4），

（2）∵A（4，4），B（8，0），

∴直线OA的解析式为y＝x，直线AB的解析式y＝﹣x+6，

∵t＝3时，直线l恰好过点C，即OP＝3，OC＝5，

∴PR＝4，C（3，﹣4），

∴直线OC的解析式为y＝-x，直线BC的解析式为y＝，

①当0＜t＜3时，Q（t，t），R（t，-t），

∴QR=t-(-t)=．PE＝8﹣2t．

∴S＝．

∴t＝2时，S有最大值为．

②要使△ORE为直角三角形，则有三种情况：

Ⅰ．若∠REO＝90°，如图1，则点P与E点重合，

∴8﹣2t＝0，解得t＝4，

Ⅱ．若∠ORE＝90°，如图2．△ORP∽△REP，

∴，即RP2＝OPPE，

∴，

解之得：t＝，

Ⅲ．当t＞4时，△ORE不可能为直角三角形．

故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或，