【题目】己知抛物线y=ax2+bx-3a(a>0)与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C.
(1)求点B的坐标;
(2)P是第四象限内抛物线上的一个动点.
①若∠APB=90°,且a<3,求点P纵坐标的取值范围;
②直线PA、PB分别交y轴于点M、N求证:为定值.
【答案】(1) B(3,0);(2) ①-2≤n<-,②
=
【解析】
(1)把A(-1,0)代入抛物线的解析式,可得a、b的关系,代入取y=0,解方程可得B点坐标.
(2)因为P是第四象限内抛物线上的一个动点.可设设P(m,n), 且m >0, n <0,
①把P(m,n)代入函数解析式,得m、n之间的关系,根据勾股定理列出算式,求出m、n的关系,综合可得到n与a的关系,结合抛物线的顶点坐标及n的取值范围即可确定n的取值范围.
②用待定系数法求直线AP、BP解析式,取x=0求出C、M、N的坐标,表示出CM、CN的长,代入计算即可.
(1)抛物线过A(-1,0)
∴0=a-b-3a,b=-2a,
令y=0,则ax2-2ax-3a=0
a(x2-2x-3)=0, 且a>0
∴B(3,0)
(2)设P(m,n), 且m >0, n <0,则n=am2-2am-3a=a(m2-2m-3).
①AP2=n2+ (m+1)2, BP2=n2+ (3-m)2, AB2=16.
∵∠APB=90°,
∴AP2 +BP2= AB2,即:n2+ (m+1)2+n2+ (3-m)2 =16.
整理后:n2=-m2+2m+3
∴n2=-,且n <0,
∴n=-<0
又抛物线顶点(-1,4 a)
∴4a≤-<0,a≥
又∵a<3
∴≤a<3
∵-1<0,∴当≤a<3时,n随a的增大而增大,
∴-2≤n<-
②将x=0代入y=ax2+bx-3a得:y=-3a
∴C(0,-3a)
直线AP过点A(-1,0)、P(m,n)两点,其解析式为:
y=a (m-3)x+ a (m-3),M(0, am-3a)
直线BP过点B(3,0)、P(m,n)两点,其解析式为:
y=a (m+1)x-3a (m+1),N(0, -3am-3a)
∴CM=|-3a-(am-3a)|=| am |
CN=|-3a-(-3am-3a)|=|3am |
∴
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【题目】为弘扬和传承红色文化,某校欲在暑假期间组织学生到A、B、C、D四个基地开展研学活动,每个学生可从A、B、C、D四个基地中选择一处报名参加.小莹调查了自己所在班级的研学报名情况,绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,其中扇形统计图中A、D两部分的圆心角度数之比为3:2.请根据图中信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)求去往A地和D地的人数,并补全条形统计图;
(3)小莹和小亮分别从四个基地中随机选一处前往,用树状图或列表法求两人前往不同基地的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,∠OAB=90°且OA=AB,OB=8,OC=5.
(1)求点A的坐标;
(2)点P是从O点出发,沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,交四边形ABCD的边AO或AB于点Q,交OC或BC于点R.设运动时间为t(s),已知t=3时,直线l恰好经过点 C.
求①点P出发时同时点E也从点B出发,以每秒1个单位的速度向点O运动,点P停止时点E也停止.设△QRE的面积为S,求当0<t<3时S与t的函数关系式;并直接写出S的最大值.
②是否存在某一时刻t,使得△ORE为直角三角形?若存在,请求出相应t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知:为
的直径,点
、
在
上,连接
、
交于点
,过点
作
的切线交
的延长于点
,且
于点
.
(1)如图,求证:;
(2)如图,连接,点
在
上,连接
,若
,求证:
;
(3)如图,在(2)的条件下,作交
于点
,过点
作
交
于点
,连接
,若
,
,求线段
的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F若平行四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,则的长是________.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有_______人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_______°;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识 达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
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【题目】在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人在如图23-6-9所示的藏宝图中找到了两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离相等,则“宝藏”点的可能坐标是________(填一个即可).
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【题目】央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了 名学生;
(2)将条形统计图1补充完整;
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度;
(4)若该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
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【题目】某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t之间的关系)为s=t2-2t.
(1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么?
(2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元?
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
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