Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，点C为⊙O外一点，CO⊥OA，交AB于点P，连接BC，BC=PC．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，OP=1，求PC的长．

(3)在（2）的条件下，求BP的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)PC=4；(3)．

【解析】

（1）由垂直定义得∠A＋∠APO＝90°，根据等腰三角形的性质由CP＝CB得∠CBP＝∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB＝∠APO，所以∠APO＝∠CBP，而∠A＝∠OBA，所以∠OBC＝∠CBP＋∠OBA＝∠APO＋∠A＝90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到32＋x2＝（x＋1）2，然后解方程即可．（3）作CM⊥BP，垂足为M.由BC=PC,则BM=PM.结合题意，由勾股定理得.由相似三角形的判定得到△APO∽△CPM，由相似三角形的性质得到，再由计算得到答案.

(1)证明：连接OB，

∵OA=OB，BC=PC，

∴∠A=∠ABO，∠BPC=∠PBC，

又∵∠APO=∠BPC，

∴∠APO=∠PBC，

又∵CO⊥AO，

∴∠APO+∠A=90，

∴∠PBC+∠ABO=90，

∴∠OBC=90，

∴BC是☉O的切线.

(2) 设BC＝x，则PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP＋OP＝x＋1，
∵OB2＋BC2＝OC2，
∴32＋x2＝（x＋1）2，
解得x＝4，
即PC的长为4．

(3)作CM⊥BP，垂足为M.

∵BC=PC,∴BM=PM.

又∵OA=3,OP=1,CO⊥AO，由勾股定理得.

又∠AOC=∠CMP=90°，∠APO=∠CPM，

∴△APO∽△CPM，

∴，

∴，

∴.