Question

【题目】已知抛物线：和抛物线：，其中．

下列说法你认为正确的序号是______；

抛物线和与y轴交于同一点；

抛物线和开口都向上；

抛物线和的对称轴是同一条直线；

当时，抛物线和都与x轴有两个交点

抛物线和相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；

在中，若抛物线的顶点为M，抛物线的顶点为N，问：

是否存在实数k，使？如存在，求出实数k；如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①③④；（2）；（3）

【解析】

（1）①分别把代入即可；

②根据二次项系数进行判断；

③抛物线的对称轴是：，代入计算即可；

④根据△来判断；

（2）由对称性可知：两条抛物线相交的另一个交点与点的纵坐标相等，由得：，则就等于，所以线段；

（3）存在实数，使，利用配方法分别求、的坐标，根据两点的距离得：的长，利用解方程即可．

解：抛物线：经过，抛物线：经过，

抛物线和与y轴交于同一点；

所以结论正确；

抛物线：，则抛物线开口向下，

抛物线：k不确定为正数或负数，则抛物线的开口也不确定；

所以结论不正确；

抛物线：对称轴为直线：，

抛物线：对称轴为直线：，

抛物线和的对称轴是同一条直线；

所以结论正确；

抛物线：，

，

当时，，所以抛物线与x轴有两个交点，

抛物线：，

，

当时，，所以抛物线与x轴有两个交点，

所以当时，抛物线和都与x轴有两个交点，

所以结论正确；

故说法正确的序号是：；

故答案为：；

注：每个正确选项得1分，选错不得分。

由可知：点是抛物线和与y轴一个交点，

两条抛物线相交的另一个交点E与点F的纵坐标相等，

当时，二次函数和重合，

当时，k的值变化时，线段EF的长不会变化，

理由是：抛物线和的对称轴是同一条直线：直线，又；

点F关于直线对称的点E的坐标为，

则EF就等于，

所以线段；

存在实数k，使，

，

抛物线，顶点，

抛物线，顶点，

由题意得：，

解得：．