Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD=4，AC=5，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠DAC，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD．

∵AD⊥MN，∴OC⊥MN．

∵OC为半径，∴MN是⊙O切线．

（2）解：∵∠ADC=90°，AC=5，DC=4，

∴AD=3，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠ACB，

又∵∠CAB=∠DAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

解得：AB= ，

即⊙O的直径长为 ．

【解析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN，进而得出答案；（2）利用相似三角形的判定与性质得出AB的长．