Question

【题目】在中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将绕点A顺时针旋转一定的角度α得到，点B、C的对应点分别是E、D．

（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

（2）如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：DF=BE；

（3）如图3，点B、C的坐标分别是(0,0)，(0,2)，点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得为等腰三角形且为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）证明见解析；（3）M(,0)或(,0)

【解析】

（1）由旋转的性质得出，，利用等腰三角形的性质求出，进而得解；

（2）通过证明与是等边三角形，，进而得证；

（3）分两种情况考虑：①当时，要使得△CQM为等腰三角形，则，②当时，要使得△CQM为等腰三角形，则，分别求解即可．

解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∵将绕点A顺时针旋转一定的角度α得到，且点E恰好在AC上，

∴，，，

∴，

∴；

（2）由题意知，，，，

∴是等边三角形，

∴，

∵点F是的边AC的中点，

∴，

∵∠BAC=30°，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

在与中，，

∴，

∴，

∴；

（3）分两种情况考虑：

∵，，

∴，由勾股定理知，，

设点，

①当时，要使得△CQM为等腰三角形，则，

∴，，

∴由勾股定理知，，即，

解得，（负值舍去），，

∴，

∴，

解得，，

∴；

②当时，要使得△CQM为等腰三角形，则，

∴，由勾股定理知，，，

∴，

解得，，

∴，

综上所述，存在，点或．