【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)该抛物线的对称轴是直线___________,
(2)求抛物线的解析式;
(3)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由:
【答案】(1)
(2);
(3)存在,或(2.3)
【解析】
(1)求出抛物线的解析式后,利用因式分解化成完全平方的形式,即可求出
(2)根据待定系数法,可得函数解析式;
(3)根据等腰三角形的判定,可得三角形三边的关系,分类讨论:PD=CD,根据勾股定理,可得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2,根据图象上的点满足函数解析式,可得关于x的方程,根据解方程,可得答案;PD=CD时,根据对称性,可得答案.
(1)∵抛物线经过A(1,0)、B(3,0) 、C(0,3),
∴设抛物线解析式为,
根据题意,得
,
解得,
∴抛物线的解析式为;
∴可以化为:
∴该抛物线的对称轴是直线
(2)由(1)可知,抛物线解析式为:
(3)存在, 由(1)可知,对称轴为 所以D点坐标为(1,4),
当是等腰三角形时,分两种情况:
①当以CD为底边时,如图2,PD=PC,
设P(x,y),根据勾股定理,
则有:,
解得:,
∵P在抛物线上,
∴,
∴
∴
∴ ,
即:,
(不合题意,舍去),
∴,
∴,
②当DC为腰时,如图3,则P、C关于直线x=1对称,
∴P(2,3),
综上所述,点P的坐标为或(2,3).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x>0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=
OC,且△ACD的面积是6,连接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状: ;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.
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【题目】已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴,交抛物线的对称轴于点D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若将该抛物线向下平移m个单位,使其顶点落在D点,求m的值.
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【题目】某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生,根据规定的推荐程序:首先由本年级200名学生民主投票,每人只能推荐一人(不设弃权票),选出了票数最多的甲、乙、丙三人.投票结果统计如图一:
其次,对三名候选人进行了笔试和面试两项测试.各项成绩如下表所示:
测试项目 | 测试成绩/分 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
笔试 | 92 | 90 | 95 |
面试 | 85 | 95 | 80 |
图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图.
请你根据以上信息解答下列问题:
(1)补全图一和图二;
(2)请计算每名候选人的得票数;
(3)若每名候选人得一票记1分,投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比确定,计算三名候选人的平均成绩,成绩高的将被录取,应该录取谁?
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【题目】(1)已知a,b,c均为实数,且+|b+1|+(c+2)2=0,求关于x的方程ax2+bx+c=0的根.
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(﹣1,0),B(0,﹣3),C(3,0)三点,求该二次函数的解析式.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP是等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】如图(1),在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D、E分别是AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,如图(2),设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.
(1)求证:BD1=CE1;
(2)当∠CPD1=2∠CAD1时,则旋转角为α= (直接写结果)
(3)连接PA,△PAB面积的最大值为 (直接写结果)
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【题目】如图,在ΔABC中,AB=AC,若将ΔABC绕点C顺时针180得到ΔFEC。
(1)试猜想AE与BF有何关系,并说明理由;
(2)若ΔABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积;
(3)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形?说明理由。
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