Question

【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).

(1)该抛物线的对称轴是直线___________，

(2)求抛物线的解析式；

(3)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：

Answer 1

【答案】（1）

（2）；

（3）存在，或（2.3）

【解析】

（1）求出抛物线的解析式后，利用因式分解化成完全平方的形式，即可求出

（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据等腰三角形的判定，可得三角形三边的关系，分类讨论：PD=CD，根据勾股定理，可得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；PD=CD时，根据对称性，可得答案．

（1）∵抛物线经过A(1,0)、B(3,0) 、C(0,3)，
∴设抛物线解析式为，
根据题意，得

，
解得，

∴抛物线的解析式为；

∴可以化为：

∴该抛物线的对称轴是直线
（2）由（1）可知，抛物线解析式为：

（3）存在， 由（1）可知，对称轴为 所以D点坐标为（1，4），
当是等腰三角形时，分两种情况：
①当以CD为底边时，如图2，PD=PC，
设P（x，y），根据勾股定理，
则有：，
解得：，
∵P在抛物线上，
∴，

∴

∴
∴ ，

即：，（不合题意，舍去），
∴，
∴，

②当DC为腰时，如图3，则P、C关于直线x=1对称，
∴P（2，3），
综上所述，点P的坐标为或（2，3）．