Question

【题目】已知抛物线C：y=（-a2+a）x2+x+1（a≠0）

（1）无论a为何值，抛物线C总是经过一个定点，该定点的坐标为_____．

（2）无论a为何值，该抛物线的顶点总在一条固定的直线上运动，求出该直线的解析式．

（3）当0＜y≤2时，y＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）；（3）0＜a＜1，或.

【解析】

（1）函数的常数项为1，所以过定点（0，1）；

（2）求出顶点坐标公式，令，代入即可；

（3））①当-a2+a＞0时，即0＜a＜1，当0＜a＜1，0＜x≤2时，y＞0恒成立，②当-a2+a＜0时，即a＞1或a＜0，当0＜x≤2时，y＞0恒成立则x=2时，y＞0；

（1）无论a为何值，抛物线C总是经过一个定点，（0，1）；

（2）y=（-a2+a）x2+x+1的顶点为（，），

设x=，y=，

则，

∴y===，

（3）①当-a2+a＞0时，即0＜a＜1，

∴抛物线开口向上，对称轴x=在y轴左侧，

∴当0＜x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y＞0

∴当0＜a＜1，0＜x≤2时，y＞0恒成立，

②当-a2+a＜0时，即a＞1或a＜0，

∴抛物线开口向下

∵抛物线与y轴交于点（0，1），

当0＜x≤2时，y＞0恒成立

∴当x=2时，y＞0，

即4（-a2+a）+3＞0，

解得或，

综上，0＜a＜1，或；