Question

【题目】定义：对于线段和点，当，且时，称点为线段的“等距点”．特别地，当，且时，称点为线段的“强等距点”．在平面直角坐标系中，点的坐标为．

（1）有4个点：，，，．线段的“等距点”是 ；其中线段的“强等距点”是 ．

（2）设第四象限有一点，点是线段的“强等距点”．

①当时，求点的坐标；

②当点又为线段的“等距点”时，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，；；（2）①或，②.

【解析】

（1）由定义可知，线段的“等距点”在线段OA的垂直平分线上，从而得出点，，都在直线x=上，再通过锐角三角函数判断∠OBA=120°即可解答；

（2）①如图所示，过点F作FH⊥x轴于点H，作FK⊥y轴于点K，利用锐角三角函数得出∠HOF=∠OFK=30°，根据“强等距点”的概念得到点G在OH上或点G在KF上，再进行分类讨论，利用勾股定理表达出OG=FG即可解答；

②由（1）可知，线段OA的“等距点”都在直线x=上，过点G作GQ⊥x轴于点Q，则GQ=-t，OQ=，根据定义以及等腰三角形的性质得到∠GOA=60°，利用tan∠GOA得到点G的坐标，结合OA∥GF即可确定m的值．

解：（1）由定义可知，线段的“等距点”在线段OA的垂直平分线上，

∵点A，

∴线段OA的垂直平分线为直线x=，

如图所示，点，，都在直线x=上，

设直线x=交x轴于点Q，连接OB，AB，

∴OQ=，BQ=1，OB=OA，

∴tan∠OBQ=，

∴∠OBQ=60°，

∴∠OBA=2∠OBQ=120°，

∴点是线段的“强等距点”，

连接OC，AC，OD，AD，

由图可知，∠OCA＜∠OBA=120°，∠ODA＜∠OBA=120°，

∴，，是线段的“等距点”，

故答案为：B，C，D；B；

（2）①当时，，

如图所示，过点F作FH⊥x轴于点H，作FK⊥y轴于点K，

则FH=2，OH=FK=，

∵tan∠HOF=，

∴∠HOF=30°，

∵OH∥FK，

∴∠HOF=∠OFK=30°，

∵点是线段的“强等距点”，

∴∠OGF=120°且OG=FG，

∴∠GOF=∠GFO=30°，

∴点G在OH上或点G在KF上，

（i）当点G在OH上时，设点G（a,0）

∵OG=FG

∴，解得：，

∴G，

（ii）当点G在FK上时，设点G（b,-2）

∵OG=FG

∴，解得：，

∴

综上所述，或

②由①可知，点G在x轴上或直线y=上，

由（1）可知，线段OA的“等距点”都在直线x=上，

∴设点G（,t），且t≥1或t≤-1，

∴点G在第四象限，

如下图所示，过点G作GQ⊥x轴于点Q，则GQ=-t，OQ=，

∵点是线段的“强等距点”，

∴∠OGF=120°，OG=FG，

∴∠OGF=∠OFG=30°，

由①可知，∠AOF=30°，

∴OA∥GF，∠GOA=60°，

∴tan∠GOA=，

∴t=-3，

∴，

解得．