Question

10．如图，△ABC的内切圆⊙O与边AB、AC分别切于点D、E，连接DE，∠ABC的平分线BF交直线DE于点F，连接CF，求证：BF⊥CF．

Answer 1

分析 如图，设⊙O与BC相切于点G，连接OD、OG、OE、FG．先证明O、F、E、G四点共圆，O、E、C、G四点共圆，推出O、F、E、C、G五点共圆，推出∠OGC+∠OFC=90°，由∠OGC=90°，可得∠OFC=90°．

解答 证明：如图，设⊙O与BC相切于点G，连接OD、OG、OE、FG．

在△FBD和△FBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BG}\\{∠FBD=∠FBG}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△FBG，
∴∠BDF=∠BGF，
∵∠BDO=∠BGO=90°，
∴∠ODF=∠OGF，
∵OD=OE，
∴∠ODF=∠DEO，
∴∠OGF=∠FEO，
∴O、F、E、G四点共圆，
∵∠OGC+∠OEC=180°，
∴O、E、C、G四点共圆，
∴O、F、E、C、G五点共圆，
∴∠OGC+∠OFC=90°，∵∠OGC=90°，
∴∠OFC=90°，
∴BF⊥CF．

点评 本题考查三角形的内切圆与内心、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是证明O、F、E、C、G五点共圆，题目比较难，属于竞赛题目．