Question

5．已知⊙O的直径CD=10，弦AB⊥CD于M，且AB=8，求弦AC的长．

Answer 1

分析 连结OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM=4，再根据勾股定理计算出OM=3，然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当如图2时，CM=2，再利用勾股定理分别计算即可．

解答 解：连结OA，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△OAM中，OA=5，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=3，
当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8，
在Rt△ACM中，AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
当如图2时，CM=OC-OM=5-3=2，
在Rt△ACM中，AC=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．