Question

11．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．
（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；
（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．
①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；
（2）①因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；
②面积相等．可通过同底等高的三角形的面积相等即可．

解答 解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，
∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，
所以t=$\frac{3}{2}$，

（2）①∵∠DCQ=120°，
当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，
∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，
∵∠A=60°，
∴AD=2AP，
∴2t+t=3，
解得t=1（s）；
②相等，如图所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，
∴∠G=∠AEP，
在△EAP和△GCQ，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠AEP}\\{∠APE=∠CQG}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△EAP≌△GCQ（AAS），
∴PE=QG，
∴△PCD和△QCD同底等高，
所以面积相等．

点评 此题是三角形综合题，主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法，判断出△EAP≌△GCQ（AAS）是解本题的关键．