Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值．

Answer 1

证明：（1）∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴∠OEF=∠OCD，∠ODC=∠OFE，
在△FOE和△DOC中，
∵，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；

（2）过点D作DH垂直AB，垂足为H，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴四边形DHBC为矩形，
∵AB=2CD，
∴AH=CD，
在Rt△AHD中
设CD=AH=k，
则DH=AH•tan60°，
∴，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵∠ABC=90°，
∵，
∴sin∠OEF=sin∠CAB==．
分析：（1）由点E，F分别为线段OA，OB的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=AB，又由AB∥CD，AB=2CD，即可判定EF=CD，∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，然后利用ASA，即可证得：△FOE≌△DOC；
（2）首先得出四边形DHBC为矩形，设CD=AH=k，则DH=AH•tan60°，进而得出AC，即可求得sin∠OEF的值．
点评：此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．