Question

如图，已知点P是?ABCD的边BC上的一点，连接OP并延长交AB的延长线于点Q，
（1）若

BP

PC

=

1

4

，求

AB

AQ

的值；
（2）若点P为BC边上的任意一点，设

BC

BP

=m，

AB

BQ

=n，试猜想m，n满足的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）利用平行四边形的性质得平行，可得到△QPB∽△DPC，可得到CD和BQ的关系，从而可求得AB和AQ的比值；
（2）由相似可得

DC

BQ

=

PC

PB

，结合平行四边形的性质，可找到

BC

BP

和

AB

BQ

的关系，从而找到m和n之间的关系．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△QPB∽△DPC，
∴

BQ

CD

=

BP

CP

=

1

4

，
∴DC=4BQ，即AB=4BQ，
∴

AB

AQ

=

4BQ

4BQ+BQ

=

4

5

；
（2）猜想：m-n=1，
理由：由△DPC∽△QPB，得

DC

BQ

=

PC

PB

，
∴

AB

BQ

=

PC

BP

，
∴

BC

BP

=

BP+PC

BP

=1+

PC

BP

=1+

AB

BQ

，
即m=n=1．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．