Question

8．如图，直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点，∠ACB=45°，求点B的坐标（多种方法）．

Answer 1

分析 方法一，如图1中作PA⊥AC使得PA=AC，延长AP与x轴交于点B，PE⊥AB于E，由△AOC≌△PEA，得AE=CO=3，PE=OA=1，所以点P坐标（4，1），求出直线PC即可解决问题．
方法二，如图2中作BP⊥CA交CA的延长线于P，PE⊥OB于E，PQ⊥CO于Q，由△PCQ≌△PBE，得PQ=PE，可以求得点P坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），求出直线PB即可解决问题．

解答 解：方法一，如图1中，作PA⊥AC使得PA=AC，延长AP与x轴交于点B，PE⊥AB于E．
∵∠CAP=∠AEP=∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠OAC+∠PAE=90°，
∴∠ACO=∠PAE，
在△AOC和△PEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠PAE}\\{∠COA=∠PEA}\\{AC=AP}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△PEA，
∴AE=CO=3，PE=OA=1，
∴点P坐标（4，1），
∴直线PC为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴点B坐标（6，0）．
方法二，如图2中，作BP⊥CA交CA的延长线于P，PE⊥OB于E，PQ⊥CO于Q．
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠PBE+∠PAB=90°，∠OAC=∠PAB，
∴∠ACO=∠PBE，
∵∠PCB=45°，∠CPB=90°，
∴∠PCB=∠PBC=45°，
∴PC=PB，
在△PCQ和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCQ=∠PBE}\\{∠PQC=∠PEB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PCQ≌△PBE，
∴PQ=PE，
∵点P在直线AC上，
∴点P坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴直线PB为y=$\frac{1}{3}x-2$，
∴点B坐标为（6，0）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的应用，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用一次函数解决问题，体现了转化的思想，属于中考常考题型．