Question

13．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：BD，CE所在的直线互相垂直；
（3）如图2，连接BE，DC，取BE中点M，连接AM，试判断线段AM与DC有何位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据∠BAC=∠DAE，求出∠BAD=∠EAC，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△ACE；
（2）如图1，延长BD，EC交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，推出A，D，F，E四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠DAE+∠F=90°，即可得到结论；
（3）延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF=∠ACD，再结合条件可得到∠ANC=90°，可证得结论．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE；

（2）证明：如图1，延长BD，EC交于F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF=180°，
∴∠AEC+∠ADF=180°，
∴A，D，F，E四点共圆，
∴∠DAE+∠F=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠F=90°，
∴BD，CE所在的直线互相垂直；

（3）AM⊥CD，
证明：如图2，延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，
∵BM=EM，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠ABF=∠CAD，
∵BF=AE，AD=AE，
∴BF=AD，
在△ABF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AD}\\{∠ABF=CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAM=90°，
∴∠ACD+∠CAN=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AM⊥CD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，四点共圆圆内接四边形的性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF=∠ACD是解题的关键．