Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（-2，0）B（-3，3）及原点O，顶点为C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标。

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥ x轴，垂足为M，是否存在点P点使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x（2）D1（1，3），D2（-3，3），C（-1，-1）（3）（，）或（3，15）

【解析】试题分析：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；

（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；

（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

试题解析：（1）抛物线的解析式为；

（2）①当AE为边时，

∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，

∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）,

②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，

∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1，

由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（-1，-1），

故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（-3，3），C（-1，-1）。

（3）存在，如图：

∵B（-3，3），C（-1，-1），

根据勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2，

∴△BOC是直角三角形，

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，

设P（x，y），

由题意知x＞0，y＞0，且，

①若△AMP∽△BOC，

则，即x+2=3（x2+2x）得：，x2=-2（舍去）当时，，即P（）；

②若△PMA∽△BOC，，

即：x2+2x=3（x+2）,

得：x1=3，x2=-2（舍去）,

当x=3时，y=15，即P（3，15），

故符合条件的点P有两个，分别是P（）或（3，15）．