Question

4．如图，已知ABCD为正方形，∠FED=∠BEC，EF=CE，求证：DF+EF=BE．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD为正方形，∠FED=∠BEC，EF=CE，截取CG=DE，可得BG=EC，作GH⊥BE，从而可以证明各边之间的关系，从而可证明结论．

解答 证明：如下图所示：在BC上截取CG=DE，作GH⊥BE于点H，

∵BC=CD，CG=DE，EC=EF，∠FED=∠BEC，∠EFD+∠FED=∠EBC+∠BEC=90°，GH⊥BE，
∴BG=EF，∠HBG=∠DFE，∠D=∠GHB=90°，
在△HBG和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBG=∠DFE}\\{BG=EF}\\{∠D=∠GHB}\end{array}\right.$，
∴△HBG≌△DFE（ASA），
∴BH=DF，HG=DE，
∵GH⊥BE，
∴∠GHE=∠GCE=90°，
在Rt△GHE和Rt△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GH=GC}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△GHE和Rt△GCE（HL），
∴HE=EC，
∴HE+BH=EC+DF=EF+DF，
即DF+EF=BE．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质，解题的关键是构造三角形，找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．