Question

9．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．
（1）求BC-CD与BE之间的关系式；
（2）求BC+CD与CE之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠BCD，可得AE=AF，由直角三角形的判定定理可证得Rt△ABE≌Rt△ADF，和Rt△AEC≌Rt△AFC，得到BE=DF，CE=CF，由线段的和差可证得结论；
（2）由Rt△ABE≌Rt△ADF，得到BE=DF，由线段的和差可证得结论．

解答 解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴Rt△AEC≌Rt△AFC，
∴CE=CF，
∴BC-CD=BE+EC-CD=BE+CF-CD=BE+DF=2BE；

（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴BC+CD=BE+CE+CD=DF+CD+CE=CE+CE=2CE．

点评 本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质与判定定理，线段的和差化简，能正确找出全等的三角形是解决问题的关键．