Question

已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点。
（1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长；
（2）如图②，若=2，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积。

图①                             图②

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠CPQ+∠PQC=90°， ∵AP⊥PQ， ∴∠CPQ+∠APB=90°， ∴∠APB=∠PQC， ∴△ABP∽△PCQ， ∴，即， ∴CQ=3； （2）取BP的中点H，连接EH，由=2，设CQ=a，则BP=2a， ∵E，F，G，H分别为AP，PQ，PC，BP的中点， ∴EH∥AB，FG∥CD， 又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°， ∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC， ∴四边形EHGF是直角梯形， ∴EH=AB=2，FG=CQ=a，HP=BP=a，HG=HP+PG=BC=4， ∴S梯形EHGF=（EH+FG）·HG=（2+a）·4=4+a， S△EHP=HP·EH=a·2=a， ∴S四边形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP=4+a-a=4。

图① 图②